第四十九章 贾宪三角的物理应用

 正说话间，吹来一阵江风。田垚忍不住打了喷嚏。


 赵榛见状，把目光定格在他身上，笑道：“田教授，这次多亏是你，解决了军中的难题。目下，汜水关将士士气高涨，有你的大功劳！”


 赵榛不像古人那么迷信。对所谓冬日打雷这些纷说没有兴趣，不愿过多讨论这些玄妙之说。有意换了话题。昨日，田垚帮助折彦质修建起了砦墙。赵榛一直无暇问他如何办到。此时，正好借机询问清楚。


 田垚用袖子捂住口鼻，又打了个喷嚏。才得空回道：“殿下，事有凑巧，折大人修建砦墙一事，与我所学似乎可以对应起来。我突发奇想，所以讨了个巧。”


 听他这么一说，众人都产生了兴趣。纷纷问他怎么做到的。


 赵榛见田垚把手缩在袖筒里，紧咬牙关，全身瑟瑟发抖，便道：“咱们先进船，听田教授好好摆一摆龙门阵。”


 车船不小，首尾将近五十米。当中船舱宽敞，摆着一张长桌。众人围坐在桌旁。舱中烧着炭火，暖意融融。田垚舒服地连打了几个寒战，嘴巴一阵哆嗦。才心满意足地从怀中掏出来个袋子。抖落一番，从袋子里又掏出一把东西，摊在桌上。


 “算筹？”夏言问他。


 “嗯”，田垚抬头，冲他赞赏道，“夏大人好眼力。”


 每根算筹大概两指长，蝇头粗细。大略点一下，得有二三百根。用竹子削制而成。满满一堆，摆在桌上。外表磨得光滑锃亮。显然是田垚的常用之物。


 “一根……


 “一根，一根……”


 “一根，两根，一根……”


 “一根，三根，三根，一根……”


 “一根，四根，六根，四根，一根……”


 田垚一边摆着，一边念念有词。每念一阵，停顿一下。换一行，继续一边摆一边念。如此，连摆了九行。


 众人这才看出来，这九行算筹形成了一个大三角形形状，把桌子占满了。第一行，一根算筹；第二行，两根算筹，分别摆在第一行算筹之下的左右位置；第三行，四根算筹，分三列，首尾两列各一根算筹，中间一列两根算筹合在一起，摆在前一行算筹下方对应的左右位置。第四行、第五行……均如此排布。


 赵榛见算筹摆成的形状，心中一动。仔细地将当中合在一起的算筹数目，计算了一番。心中暗道：“杨辉……贾宪……三角？”几乎就要脱口而出。但是，终于忍住了，没有发出声来。


 杨越在旁边轻声说：“这莫非是七乘方图？”


 田垚听见有人识得摆出来的图形，非常惊讶。


 “杨兄，你认识此图？”


 “我们医者，除了医药，卜筮数理也略微接触一些。田教授搭的这个图，我正好在一本书中看过，好像是贾宪的《黄帝九章算法细草》。我闲暇无事时在宫中藏库中浏览过此书。”


 田垚不住地点头，由衷地赞叹道：“要论此图的起源，现今也说不清楚了。有人说是唐朝的李淳风，有人说是魏晋时的刘徽。不过，公认还是我朝算法大家贾宪所著。记载于方才田兄所言的算法细草中。杨兄不仅医术精湛，所学亦庞杂。连算数上的知识，也有所了解，实在佩服！不像我只知道这些算法数理。”


 杨越急忙谦虚地推辞：“宫中藏书非常丰富。我又喜好读书，实乃凑巧翻过这本书。仅仅知道有这么个图。其中的奥秘，完全不懂。岂敢当田兄谬赞。”


 “说起来也简单。正如杨兄所言，此图乃乘方图，便是乘方展开的算法排列。你看，这是积，此谓本积、商实、平方积、立方积、三椉积……七椉积。”田垚指着左手边缘每一列单独摆放的算筹道。……

 


 “说起来也简单。正如杨兄所言，此图乃乘方图，便是乘方展开的算法排列。你看，这是积，此谓本积、商实、平方积、立方积、三椉积……七椉积。”田垚指着左手边缘每一列单独摆放的算筹道。


 又指向右手边缘的算筹，从上而下继续介绍：“这是方法、平方隅、立方隅、三椉隅……七椉隅。”


 接着，指向最后一排算筹，说道：“中间的算筹名为廉，从左向右，上廉、二廉、三廉……七廉。”


 赵榛确信这是贾宪三角或杨辉三角无疑。


 杨辉是南宋人，尚未出生，此图只能是贾宪所作的三角图，也就是杨越口中的七乘方图。


 以后世数学术语描述，贾宪三角就是二项式展开后的系数表。左右边缘摆列的算筹，田垚口中唤作积、隅，其数量始终为一，代表着二项式展开后，最高次项式的系数始终为一。中间的廉，则代表中间项的系数。以（a+b）?为例，展开后用现代数学表示为a?+3a?b+3ab?+b?。在贾宪三角中，先找到立方积这一行，再点验田垚依次摆列的算筹数量，分别为立方积1、上廉3、二廉3、立方隅1。立方积、立方隅的算筹数量与a?、b?前的系数1相符，上廉数量与a?b项前系数3相符，二廉数量与ab?项前系数3相符。根据贾宪三角，任何髙次二项式都可以直接应用廉数快速展开。


 这是中国古代非常伟大的数学成就。但是，赵榛不知道与立柱有什么关系。


 田垚认真解释着，似乎想让所有人能够明白这一原理。但是，舱中除了赵榛，众人如同听天书一般，根本摸不着头脑。杨越也是一脸疑惑，显然没有数学方面的造诣。


 朱大泰不耐烦地拍了一下桌子：“小田，什么鲫鱼脸？还猫鱼脸呢。我听不懂，你就直说吧，怎么把那些柱子立进土里且立稳的。”


 他拍的力道不大，但已将满桌的算筹震得乱了队形。有些算筹骨碌碌滚下地面。


 田垚赶紧把算筹捡起来。苦笑一声，将凌乱的算筹认真地摆放整齐。才道：“我当时也是突发奇想。嗯……那天，我在城墙上俯看玉门渡前的柱子，见柱子排列得密密匝匝。越靠近岸边，柱子数量越多……就像这里的算筹。”田垚指着第九列算筹。


 “嗯”，众人听到他开始解释，都非常感兴趣，齐声应道。


 “我当时想，为何靠近岸边的地方容易塌方？岸边潮湿，土壤疏松，容易塌方能够理解。但是，由于岸边屡次塌方，立柱的地方已经往后腾了几丈。与一般的土地，没有太大差别。为什么柱子前方仍然容易裂开，导致立不稳柱子？”


 “是呀，这是为什么？”众人一起追问。


 “问题不在土壤上，而是在柱子上！”


 田垚得意地笑道：“诸位请看乘方图，我用算筹表示出来，大家一目了然。越到乘方的底部，廉数越大。我当时突然想到此图，心想廉数能不能当作立下柱子以后，柱子对外的力道呢？如果把靠近岸边的柱子当作最底部的算筹，大家看，它的廉数最大。是不是意味着这些柱子往外排出的力道最大？当力道过大时，前方的土壤承受不了，于是开始崩裂？”


 “哦！”有人恍然大悟。


 “你这……扯淡的么？”朱大泰迟迟疑疑，终于忍不住反驳道，“俺老朱虽然听不懂你那鲫鱼脸猫鱼脸，但也知道你这个图，说的是算术嘛……和这力道完全不是一回事，莫不是糊弄我等吧？哈哈哈。”


 叶复笑着对朱大泰道：“我看田教授所言不假。柱子都立好了，摆在那，还能有假？小田此举，看似奇思妙想，其实有用得很。真是实用之才！”


 赵榛想了想道：“我亦觉得田教授说的有理。算术与物理看似不同，其实存在着千丝万缕的联系。就像勾三股四弦五之理，人们一直把它当成算学范畴的事。其实，在勾股弦上所承受的力道也遵循这一定理。”……

 

　

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