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 有关数学公式的证明很多，下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。（1）自然数的立方和=自然数之和的平方上述等式的左边为自然数的立方和，等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式，但通过如下的图形很直观地就能证明上式：把自然数立方和的图形平铺看来，其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方，所以就能证明上述等式成立。（2）勾股定理这个公式为勾股定理，我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五，后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法，这可以很容易证明勾股定理：大正方形的面积为：(a+b)^2大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和：4×(1/2ab)+c^2由此可得下式：(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2化简之后，即可得勾股定理：a^2+b^2=c^2（3）欧拉恒等式这个公式就是著名的欧拉恒等式，它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0，以及最重要的数学符号——加号+、等号=。欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式：对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得：再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得：显然，cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ)，由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π，即可得下式：e^(iπ)=-1+0对上式进行移项，最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。（4）证明圆周率是无理数虽然人类早在三千多年前就已使用圆周率，但直到两百多年前，数学家才首次证明圆周率是一个无理数。圆周率是无理数的证明方法不少，下面要介绍的是数学家IvanM.Niven给出的反证法，这种方法简单而又巧妙。倘若π为有理数，必然存在整数a和b，使得下式成立：


 π=a/b构造如下两个函数：其中n为正整数。显然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x)，它们都在x=0以及x=π处可积。再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，并对其进行求导可得：对上式两边从0到π都进行积分可得下式：因为F(0)以及F(π)都为整数，故F(π)+F(0)亦是整数。当x∈(0，π)时，显然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，并且f(x)sinx在[0，π]上的积分为正整数。当x∈(0，π)时，显然有a-bx


 


 


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 数学中有哪些巧妙的证明过程？


 有关数学公式的证明很多，下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。


 （1）自然数的立方和=自然数之和的平方


 上述等式的左边为自然数的立：方和，等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式，但通过如下的图形很直观地就能证明上式：


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 把自然数立方和的图形平铺看来，其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方，所以就能证明上述等式成立


 谢谢你，平凡而伟大的陌生人，我的灵魂仿佛得到了神圣的洗涤，虔诚的信徒为您高歌，即使宇宙覆灭，我也不会忘记您今天对我的教诲，如果不是你，我一辈子都被蒙在鼓里



 本章完

　

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